Opinião

Pandemia e Matemática

Jorge Buescu
Jorge Buescu
Imagem cedida por JB

No início do surto da COVID-19 em Portugal muitas vezes ouvi “mas o que pode dizer um matemático sobre epidemiologia?”. A resposta, que por vezes surpreendia o interlocutor, é muito, porque a dinâmica das epidemias é descrita por sistemas de equações diferenciais.

O mais simples dos modelos epidemiológicos foi desenvolvido em 1927 por Kermack e McKendrick. É o chamado “modelo SIR” devido aos nomes das três variáveis: susceptíveis, infectados, removidos. Os susceptíveis S(t) são os elementos da população que podem contrair a doença; os infectados I(t) são os que estão infectados e contagiosos; os removidos R(t) são os que recuperaram da doença e desenvolveram imunidade, ou morreram.

É simples, a partir do modelo SIR, provar que o surto inicial de uma doença para a qual a imunidade é nula, como era o caso da COVID-19, é exponencial. Partimos da equação para os infectados

fórmula

onde 1/a é o tempo de contágio e ß é a taxa de transmissão. Se no instante inicial t=0 não há imunidade, todos os indivíduos são susceptíveis; ou seja, S(0)=N, onde Né a população total. Nesse caso, enquanto o número de infectados I(t) for muito pequeno face a N, S (t) é aproximadamente igual a N. Seria o caso, por exemplo, com 100, 1.000 ou mesmo 10.000 infectados em Portugal (N=107). Substituindo na equação (*) S por N e resolvendo, obtemos

fórmula

onde I (0) é o número de infectados em t=0. Daqui segue-se que existe o número de infectados cresce exponencialmente se (ßN-a)>0 ou seja, se

fórmula de matemática

Nesta fase das nossas vidas, todos já ouvimos falar do famoso parâmetro R0. Eis a sua expressão no modelo SIR. O seu valor para a COVID-19 no início do surto em Portugal situava-se, dependendo das estimativas, entre 2,5 e 4. Aquilo que nos vimos obrigados a fazer para baixar o valor de R (confinamento, máscaras, higiene…) foram medidas de contenção para baixar o parâmetro ß, pois sobre os outros dois não temos controlo.

Como evoluiu a curva de infectados activos I(t) depois de tomarmos estas medidas? Para a calcular precisamos de subtrair, dos casos confirmados, os removidos (recuperados e mortos). Contudo, o número de recuperados nos boletins da Direção Geral da Saúde (DGS) rapidamente deixou de ser fiável. Assim, para reconstruir a curva de activos desenvolvemos (com apoio de José Carlos Pereira, alumnus da Ciências ULisboa) um método para estimar o seu número. Apresentamos o gráfico da curva epidemiológica reconstruída à data de 8 de Junho; para comparação, a tracejado está a curva que se obteria a partir dos dados da DGS; é bem visível o primeiro troço exponencial, antes das medidas de contenção. De acordo com esta estimativa o pico de activos terá ocorrido entre 9 e 15 de Abril, e a 1 de Junho cerca de 5.000 dos confirmados DGS estão activos; devido ao fenómeno dos assintomáticos o total de infectados activos poderá ser 5 a 10 vezes maior.

gráfico

Nota de redação: O autor não segue o atual Acordo Ortográfico.

Jorge Buescu, professor do Departamento de Matemática da Ciências ULisboa
info.ciencias@ciencias.ulisboa.pt

"Este acontecimento é uma oportunidade para divulgar e celebrar a qualidade da investigação e da inovação desenvolvidas na Ciências ULisboa”, diz Margarida Santos-Reis, subdiretora da Faculdade para a área da investigação, a propósito da 5.ª edição do Dia da Investigação e Inovação.

imagem gerada por IA

"A realização de determinadas funções biológicas é explicada como efeito de uma “computação natural” executada pelo organismo. O objetivo destes programas é, como bem exemplificado por este recente artigo de Joshua Bongard e Michel Levin, promover uma confluência entre biologia e engenharia", escreve Lorenzo Baravalle, investigador do Centro de Filosofia das Ciências da Universidade de Lisboa.

pessoas a escavar na terra

Pegadas de dinossauros com 195 milhões de anos foram descobertas em Alvaiázere, no distrito de Leiria, sendo as mais antigas da Península Ibérica, segundo estudo publicado na revista científica Historical Biology. Carlos Neto de Carvalho, investigador do Instituto Dom Luiz, é um dos autores do trabalho.

Anfiteatro com pessoas

A 4.ª edição do acontecimento organizado pela Associação Portuguesa de Estudantes de Física (Physis), em colaboração com IA Ciências ULisboa e o Núcleo de Física e de Engenharia Física (NFEF) da Ciências ULisboa começou esta sexta-feira, dia 13 de outubro, no campus da Faculdade e termina este domingo, dia 15. Um dos pontos altos do programa é o debate “Há futuro na exploração espacial?”.

anffiteatro com cientistas

A Ciências ULisboa conta com 26 investigadores colocados nos rankings “World’s Top 2% Scientists”, de acordo com o mais recente estudo publicado pela Elsevier, comprovando a relevância da sua produção científica.

Laureados com o Nobel da Química

O Nobel da Química de 2023 foi atribuído conjuntamente a Moungi G. Bawendi, Louis E. Brus e Alexei I. Ekimov, pelo trabalho que levou à descoberta e ao desenvolvimento de pontos quânticos, nanopartículas tão minúsculas que o seu tamanho determina as suas propriedades, segundo comunicado oficial da Real Academia das Ciências da Suécia.

rato

O estudo “Resistência a rodenticidas anticoagulantes desafia esforços do controlo de pragas em Portugal” - realizado por uma equipa de investigadores do Centro de Estudos do Ambiente e do Mar – visa recolher informações que tornem a gestão do ratinho doméstico mais eficiente, minimizando os seus impactos.

Katalin Karikó e Drew Weissman

A 2 de outubro de 2023 o Prémio Nobel da Fisiologia e Medicina foi atribuido a Katalin Karikó e Drew Weissman por descobertas biotecnológicas subjacentes à formulação das vacinas de mRNA (RNA mensageiro) para COVID-19. Em todo o mundo, mais de três mil milhões de pessoas receberam pelo menos duas doses destas vacinas (vacinas Comirnaty da Pfizer e Spikevax da Moderna). Em Portugal, cerca de sete milhões de pessoas receberam pelo menos três doses.

Pierre Agostini, Ferenc Krausz e Anne L'Huillier

O Nobel da Física de 2023 foi atribuído a três físicos europeus - Pierre Agostini, Ferenc Krausz e Anne L'Huillier -, a trabalhar nos EUA, Suécia e Alemanha. Reconhece os trabalhos pioneiros relativos à produção de luz decorrentes da interacção entre electrões e atómos foto-ionizados por laser, através da geração de um número elevado de harmónicas de ordem elevada que, em conjunto, e em condições de fase relativas adequadas (phase matching) podem dar origem a trens de impulsos luminosos com durações de ato-segundo (1 as = 10-18 s).

Centro de Congressos de Lisboa com vários participantes do EUPVSEC 2023

A 40th European Photovoltaic Solar Energy Conference and Exhibition - EUPVSEC 2023 realizou-se de 18 a 22 de setembro de 2023, no Centro de Congressos de Lisboa. João Serra, professor do Departamento de Engenharia Geográfica, Geofísica e Energia da Ciências ULisboa, foi novamente convidado a ser o chairman da maior e mais importante conferência europeia dedicada à energia fotovoltaica.

obra de Wassily Kandinsky

"Descobertas recentes na neurociência cognitiva - por António Damásio, Vittorio Gallese e Frans de Waal, entre outros - posicionam a empatia como um facto neurobiológico", escreve Graça P. Corrêa, investigadora do Centro de Filosofia das Ciências da Universidade de Lisboa.

pessoas numa escavação numa jazida de fósseis

Novo estudo publicado na revista Zoological Journal of the Linnean Society descreve um novo dinossáurio saurópode que viveu na Península Ibérica há 122 milhões de anos. Esta nova espécie de dinossáurio, apelidada de Garumbatitan morellensis, foi descrita a partir de restos descobertos em Morella (Castelló, Espanha) por uma equipa de paleontólogos portugueses e espanhóis e permitiu ampliar a diversidade de dinossáurios conhecida num dos melhores registos fósseis do Cretácico Inferior da Europa.

sensor de radiação no topo de um veículo

Um novo estudo desenvolvido por investigadores da Ciências ULisboa e do Instituto Dom Luiz com a colaboração de parceiros em França (Mines Paris - PSL) e Luxemburgo (LIST), publicado na revista Progress in Photovoltaics: Research and Applications, explora o potencial em ambiente urbano de veículos solares em 100 cidades em cinco continentes.

auditório lotado

18 de setembro foi o primeiro dia de aulas para mais de 800 novos alunos matriculados nas licenciaturas da Ciências ULisboa na 1.ª fase do Concurso Nacional de Acesso. A sessão de boas-vindas aos novos alunos decorreu às 11h30, no auditório 3.2.14.

Luís Fernando Marques Mendes foi um biólogo inteiramente dedicado à Entomologia, desde que se licenciou em 1971 pela Ciências ULisboa. Faleceu na passada quinta-feira, 14 de setembro, após prolongada doença. A Faculdade lamenta o triste acontecimento, apresentando as condolências aos seus familiares, amigos e colegas.

Laje rochosa - primeiras evidências de vertebrados do fundo do mar

A descoberta de fósseis extremamente raros, que representam as primeiras evidências de peixes de águas profundas, atrasa a invasão da planície abissal em 80 milhões de anos. Estas descobertas foram publicadas este mês num novo estudo na revista científica Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS).

Grupo de pessoas

A 13ª Conferência Internacional SedNet - Continuum Sedimentar: aplicando uma abordagem de gestão integrada realizou-se na Ciências ULisboa, entre 5 a 9 de setembro. O programa intensivo de cinco dias começou com workshops sobre a gestão dos sedimentos a diferentes níveis, incluiu apresentações e uma visita de campo ao Porto de Lisboa e às dunas e praias de Cascais.

O Departamento de Matemática da Ciências ULisboa e o Museu Nacional de História da Ciência juntam-se numa homenagem que marca o centenário do nascimento do professor João Santos Guerreiro, a realizar no próximo dia 23 de setembro, entre as 14h00 e as 18h00, no Anfiteatro Manuel Valadares, no MUHNAC.

peixes

Os organismos estão a tornar-se mais pequenos através de uma combinação de substituição de espécies e mudanças dentro das espécies: trata-se da conclusão de um novo estudo publicado na revista Science, que analisou dados de todo o mundo dos últimos 60 anos e de diversas espécies de animais e plantas.

Filipe Rosas

​Filipe Rosas é o novo coordenador do Instituto Dom Luiz (IDL).

Susana Custódio com alunos

Portugal obteve uma medalha de prata e três medalhas de bronze na 16.ª edição da International Earth Science Olympiad (IESO 2023), que assinala a 8.ª participação portuguesa. A SGP e a CNOG agradecem à Faculdade o apoio científico prestado no âmbito do programa de preparação da equipa portuguesa para a 16.ª edição da IESO.

3 homens sentados

MARGINS surgiu com o objetivo de estudar as interações socioecológicas entre comunidades humanas e ambiente na zona costeira da Guiné-Bissau e compreender a inter-relação de arrozais e mangais como parte de uma unidade afetada pelas mudanças climáticas. No projeto estão envolvidos docentes, investigadores do IDL e cE3c e estudantes da Faculdade.

Auditório com pessoas

Este ano, na 1.ª fase do Concurso Nacional de Acesso ao ensino superior concorreram aos 16 cursos da Faculdade 5086 candidatos, tendo sido colocados 872 novos alunos em Ciências ULisboa, 527 em 1.ª opção. Até 5 de setembro decorre a apresentação da candidatura à 2.ª fase. A sessão de boas-vindas aos novos alunos de 2023/2024 acontece no dia 18 de setembro.

abelha mumificada

Um novo estudo publicado na revista internacional Papers in Paleontology dá conta da descoberta de centenas de abelhas mumificadas no interior dos seus casulos, num novo sítio paleontológico descoberto no litoral de Odemira.

mural

Há um novo mural no campus da Faculdade, para apreciar junto à FCULresta, que celebra os dois anos corridos desde a primeira semente lançada. "Só em Portugal, inspirados também pela FCULresta, foram criados ou melhorados um total de 6 espaços verdes resilientes" escrevem os responsáveis pelo projeto, neste artigo de opinião sobre a minifloresta. 

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