Hugo Duminil-Copin, professor no Departamento de Matemática da Universidade de Genève (e no Institut des Hautes Études Scientifiques) obteve aos 36 anos a medalha Fields durante o recente Congresso Internacional de Matemáticos, em São Petersburgo.

Hugo D. C. é um físico-matemático que trabalha em teoria das probabilidades. Um daqueles que, durante os vinte últimos anos, regressou à fonte histórica de inspiração das matemáticas, a física teórica (após uma geração que tinha ignorado esta herança). Para Hugo D.C. foi a teoria das transições de fase, em mecânica estatística, a desempenhar esse papel.

Teoria da Percolação

Quando um líquido tenta encontrar um caminho num meio poroso, o modelo matemático deve explicar a formação de grupos conexos das configurações que formam os caminhos, e seus comportamentos. É a teoria da Percolação, cujo sistema modelo é uma grelha infinita de configurações ligadas por arestas. Sobre cada uma delas, atirar uma moeda ao ar e escolher uma probabilidade que ela caia na face (a moeda pode estar enviesada e as probabilidades não serem só 1/2). Nesse caso, a aresta é colorida e o fluido pode passar entre esses dois pontos, caso contrário fica bloqueado.

Aumentando lentamente a probabilidade de que todos os pares de pontos sejam ligados, observa-se uma transição de fase brutal do comportamento do sistema. Esta probabilidade crítica está no centro da teoria: abaixo dela não haverá quase nenhuma possibilidade de aparecer um caminho conectado infinitamente longo, acima haverá um caminho disponível: o fluido escorrerá. O mais simples modelo de Percolação é o de Bernoulli, descrito acima.

O programa de investigação de Hugo D.C. consiste em generalizar estas ideias a modelos bem mais sofisticados (sendo o segundo, em termos de dificuldade, o famoso modelo de Ising).

Problemas resolvidos por Hugo Duminil-Copin

Hugo D.C. admite de boa vontade que duvida, durante muito tempo, das suas próprias provas. Em Matemática, ao contrário da Física, uma certeza absoluta é acessível. Mesmo hesitando, como aluno, entre Matemática e Física, e defensor do papel da intuição, ele não poderia satisfazer-se completamente com argumentos físicos. No seu domínio, os físicos tinham previsto os seus resultados há muito tempo, mas as verificações semi-empíricas não o satisfaziam. Tornou-se, portanto, matemático.

O primeiro resultado, que valeu a Hugo D.C. a posição de professor em Genève, no mesmo dia da sua defesa de tese, foi obtido com o seu orientador, S. Smirnov. Numa rede hexagonal (em ninho de abelhas) devia calcular-se o número de caminhos que não voltam nunca ao mesmo vértice. Se N é o número de passos no caminho, este número é:

A hipótese de lançamentos independentes de Bernoulli pode ser substituída pela de correlações entre partes distantes do sistema. Para uma larga classe de tais modelos, Hugo D.C. identificou os pontos críticos e os seus comportamentos abaixo e acima desses valores. Quando os caminhos conexos infinitos aparecem, o modelo é dito contínuo se eles invadem progressivamente o sistema. Quando a sua densidade dá um salto, o fluido pode passar por todo o lado assim que a transição de fase se produz (é o caso da transição gelo-água). Para o modelo de Bernoulli a transição é contínua.

Estes problemas podem parecer demasiado particulares. Mas só em aparência. As soluções dependem fortemente da sua dimensão d. O modelo de Ising (resolvido por Onsager em dimensão 2) é um bom exemplo. A transição é contínua em d=1,2 e d maior ou igual a 4. Quando d>4 o modelo é dito trivial (i.e Gaussiano). A primeira demonstração de que a transição é contínua em dimensão 3 é devida a Hugo D.C.. De facto, segundo W. Werner (ETH Zurique) metade dos problemas em aberto neste domínio foram resolvidos por Hugo D.C..

Muitos dos seus resultados vão inspirar a teoria matemática dos campos quânticos. A noção de intersecção (ou não) de caminhos aleatórios torna-se crucial. Resultados recentes de Aizenman e Hugo D.C., em particular, ilustram estas profundas relações com a Percolação.

Para uma descrição detalhada dos trabalhos de Hugo D.C., pode consultar-se a análise de Martin Hairer - “The work of H. Duminil-Copin".

Congresso de Física-Matemática

Em 2003, o Grupo de Física-Matemática da Universidade de Lisboa (GFMUL) organizou o 14º Congresso de Física-Matemática em Lisboa. Entre os oradores plenários (uma honra académica) contava-se S. Smirnov, professor em Genève. Sete anos mais tarde ele obtinha a medalha Fields. Neste debate incessante entre investigação “de escolas” ou “individualista”, o par Duminil-Copin/Smirnov mostra que o efeito de escola pode funcionar, sobretudo se a sua origem é devida a um cientista excecional. Nos outros casos, as escolas não constituem por vezes senão lobbies académicos sem justificação científica.