Opinião

Pandemia e Matemática

Jorge Buescu
Jorge Buescu
Imagem cedida por JB

No início do surto da COVID-19 em Portugal muitas vezes ouvi “mas o que pode dizer um matemático sobre epidemiologia?”. A resposta, que por vezes surpreendia o interlocutor, é muito, porque a dinâmica das epidemias é descrita por sistemas de equações diferenciais.

O mais simples dos modelos epidemiológicos foi desenvolvido em 1927 por Kermack e McKendrick. É o chamado “modelo SIR” devido aos nomes das três variáveis: susceptíveis, infectados, removidos. Os susceptíveis S(t) são os elementos da população que podem contrair a doença; os infectados I(t) são os que estão infectados e contagiosos; os removidos R(t) são os que recuperaram da doença e desenvolveram imunidade, ou morreram.

É simples, a partir do modelo SIR, provar que o surto inicial de uma doença para a qual a imunidade é nula, como era o caso da COVID-19, é exponencial. Partimos da equação para os infectados

fórmula

onde 1/a é o tempo de contágio e ß é a taxa de transmissão. Se no instante inicial t=0 não há imunidade, todos os indivíduos são susceptíveis; ou seja, S(0)=N, onde Né a população total. Nesse caso, enquanto o número de infectados I(t) for muito pequeno face a N, S (t) é aproximadamente igual a N. Seria o caso, por exemplo, com 100, 1.000 ou mesmo 10.000 infectados em Portugal (N=107). Substituindo na equação (*) S por N e resolvendo, obtemos

fórmula

onde I (0) é o número de infectados em t=0. Daqui segue-se que existe o número de infectados cresce exponencialmente se (ßN-a)>0 ou seja, se

fórmula de matemática

Nesta fase das nossas vidas, todos já ouvimos falar do famoso parâmetro R0. Eis a sua expressão no modelo SIR. O seu valor para a COVID-19 no início do surto em Portugal situava-se, dependendo das estimativas, entre 2,5 e 4. Aquilo que nos vimos obrigados a fazer para baixar o valor de R (confinamento, máscaras, higiene…) foram medidas de contenção para baixar o parâmetro ß, pois sobre os outros dois não temos controlo.

Como evoluiu a curva de infectados activos I(t) depois de tomarmos estas medidas? Para a calcular precisamos de subtrair, dos casos confirmados, os removidos (recuperados e mortos). Contudo, o número de recuperados nos boletins da Direção Geral da Saúde (DGS) rapidamente deixou de ser fiável. Assim, para reconstruir a curva de activos desenvolvemos (com apoio de José Carlos Pereira, alumnus da Ciências ULisboa) um método para estimar o seu número. Apresentamos o gráfico da curva epidemiológica reconstruída à data de 8 de Junho; para comparação, a tracejado está a curva que se obteria a partir dos dados da DGS; é bem visível o primeiro troço exponencial, antes das medidas de contenção. De acordo com esta estimativa o pico de activos terá ocorrido entre 9 e 15 de Abril, e a 1 de Junho cerca de 5.000 dos confirmados DGS estão activos; devido ao fenómeno dos assintomáticos o total de infectados activos poderá ser 5 a 10 vezes maior.

gráfico

Nota de redação: O autor não segue o atual Acordo Ortográfico.

Jorge Buescu, professor do Departamento de Matemática da Ciências ULisboa
info.ciencias@ciencias.ulisboa.pt
Imagem de perfil de Maria Filomena Camões, professora do DQB-FCUL

Maria Filomena Camões, professora do Departamento de Química e Bioquímica da FCUL, assina um artigo sobre a criação do Instituto Nacional de Metrologia da Colômbia e a inauguração de um laboratório do qual é madrinha.

Guiomar Evans - Prof. Auxiliar do Departamento de Física e Investigadora do Centro de Física da Matéria Condensada

A missa do 30.º dia em memória de José Manuel Pires dos Santos, professor aposentado do Departamento de Informática da FCUL, realiza-se a 11 de setembro, pelas 19h00, na Igreja da Luz, em Carnide.

O professor José Manuel Pires dos Santos sentado em frente a uma secretária

Toda a morte, mesmo a anunciada, é uma surpresa. Um misto de espanto e de descrença como se não fosse possível acontecer.

As actividades da Semana Zero do DEGGE têm lugar nos dias 12, 13 e 14 de Setembro.

Bolsas Universidade de Lisboa / Fundação Amadeu Dias

Em cinco anos, a UL e a FAD apoiaram 134 projetos. A Faculdade de Ciências distingue-se com o maior número de alunos e respetivos trabalhos distinguidos, setenta.

Apresentações públicas do Programa de Doutoramento em Biologia

Pormenor da face de uma aluna da FCUL

Apesar do próximo ano letivo começar já dia 17 de setembro, a FCUL ainda está a receber candidaturas de alunos interessados nos seus cursos pós-graduados.

Centro de Dados da FCUL

Tal como anunciado em julho, a modernização do Centro de Dados da FCUL foi realizada durante os meses de verão e está prestes a terminar.

Vela

Aos familiares, amigos e colegas a FCUL apresenta as sinceras condolências.

Fluxo de energia bancária

“O princípio de que aumentar o capital dos bancos favorece a estabilidade bancária, para além de estar errado, penaliza países como o nosso de forma ainda mais gravosa”, refere em entrevista Pedro Gonçalves Lind, um dos autores do regular article “The Dynamics of Financial Stability in Complex Networks”.

Os cidadãos estrangeiros abrangidos pelos programas “Erasmus Mundus” e “Ciência sem Fronteiras” podem ter autorização de residência em menos de 15 dias e direito à mobilidade no espaço da União Europeia.

Jardim

Através do sistema Concursos pode aceder a mais informações sobre o convite publicado no Jornal Oficial da União Europeia.

Vela

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Adultos e criança em atividade da Ciência Viva no Verão

Até 15 de setembro, a iniciativa Ciência Viva no Verão percorre o País organizando mais de 1700 atividades científicas gratuitas para toda a população. As inscrições permanecem abertas até 15 de setembro, de acordo com o calendário de atividades. Nesta altura, já são mais de 20 mil os inscritos.

Nos dias 9 e 10 de Agosto a plataforma Moodle da FCUL vai estar inacessivel devido a uma manutenção de rotina.

As nossas desculpas pelos possiveis incómodos causados.

Liliana Caldeira junto aos posters

A investigação sempre foi um objetivo, que ganhou força após o prémio para melhor poster ser-lhe atribuído numa importante conferência internacional. Até ao final do ano, Liliana Caldeira, aluna de doutoramento em Engenharia Biomédica e Biofísica da FCUL, deverá defender a tese.

Pontos de interrogação

"Aquando da candidatura, o projeto estava numa fase embrionária e foi o Programa de Estímulo à Investigação da FCG que deu força e motivação para avançar”, diz Jocelyn Lochon, um dos vencedores da edição 2011 do Programa de Estímulo à Investigação.

Aluna entrevistada, sentada numa rocha

“O mais importante é saber gerir o tempo, ter alguma disciplina, definir os objetivos a alcançar e não dispersar”. A declaração pertence a Ana Bastos, jovem investigadora da FCUL e uma das vencedoras em 2011 do Programa de Estímulo à Investigação da Fundação Calouste Gulbenkian (FCG).

Cara do aluno entrevistado

“Acredito que o meu projeto vá ter efeitos na área da Saúde Pública. Ainda que não seja já nesta fase, espero poder contribuir para evoluções, por exemplo, ao nível da vacinação”, refere Tomás Aquino, um dos vencedores da edição de 2011 do Programa de Estímulo à Investigação.

A Bial, procura um Bioestatista para a oportunidade de emprego que pode ser visualisada em maior detalhe na página através do link:

Information dissemination in unknown radio networks with large labels

Professor Shailesh Vaya,
Xerox Research Centre, India,

July 20 at 10h00 on room 6.3.38

Estudantes sentados, junto a uma mesa

O pedido de apoio à formação pós-graduada na área da Geologia do Petróleo deve ser apresentado até 15 dias úteis, após o último dia do prazo de inscrição no respetivo curso.

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