Lisbon Webinar in Analysis and Differential Equations

Regularity of the minima of integral shape functionals: the non-degenerate case

Sala P3.10, Instituto Superior Técnico (com transmissão via Zoom)

Por Dario Mazzoleni (Università di Pavia).

We deal with a regularity theorem for the free boundary of solutions to shape optimization problems with integral functionals, for which the energy of a domain $\Omega$ is obtained as the integral of a cost function $j(u,x)$ depending on the solution $u$ of a certain PDE problem on $\Omega$. The main feature of these functionals is that (in general) the minimality of a domain $\Omega$ cannot be translated into a variational problem for a single (real or vector valued) state function, which is the starting point in all the previous regularity results for optimal shapes.

In this paper we focus on the case of affine cost functions $j(u,x)=-g(x)u+Q(x)$, where $u$ is the solution of the PDE $-\Delta u=f$ with Dirichlet boundary conditions. We obtain the Lipschitz continuity and the non-degeneracy of the optimal $u$ from the inwards/outwards optimality of $\Omega$ and then we use the stability of $\Omega$ with respect to variations with smooth vector fields in order to study the blow-up limits of the state function $u$.

By performing a triple consecutive blow-up, we prove the existence of blow-up sequences converging to homogeneous stable solution of the one-phase Bernoulli problem and according to the blow-up limits, we decompose $\partial\Omega$ into a singular and a regular part. In order to estimate the Hausdorff dimension of the singular set of $\partial\Omega$ we give a new formulation of the notion of stability for the one-phase problem, which is preserved under blow-up limits and allows to develop a dimension reduction principle. Finally, by combining a higher order Boundary Harnack principle and a viscosity approach, we prove $C^\infty$ regularity of the regular part of the free boundary (if the data are smooth).

The Lisbon Webinar in Analysis in Differential Equations is a joint iniciative of CAMGSD, CMAFcIO and GFM, three research centers of the University of Lisbon. It is aimed at filling the absence of face-to-face seminars and wishes to be a meeting point of mathematicians working in the field.


Transmissão via Zoom (pw: lisbonwade).

13h30-14h30

Mathematical Logic Seminar, por Luís Cruz-Filipe (University of Southern Denmark).

Seminário Doutoral em Ciências do Mar, por Pedro Nunes.

Título/data/local do evento, logótipo da RedeMov e fotografia de torniquete de acesso a meio de transporte

Evento no âmbito do Ciclo de Conferências "Conversas à 6.ª", promovido pela redeMOV da Universidade de Lisboa.

Designação dos prémios, sobre uma imagem abstrata em tons cor de laranja

As candidaturas decorrem até 23 de fevereiro, com uma nova metodologia de avaliação.

Um convite à descoberta da vida na Serra de Grândola.

Fauna e flora, investigação e educação, pela lente de cientistas e jovens biólogos.

Seminário do Centro de Física Teórica e Computacional, por Pedro Jorge (Departamento de Física, Faculdade de Ciências, Universidade do Porto, and Centro de Fotónica Aplicada do INESC TEC, Portugal).

Pormenor de homem a folhear um livro

M50 - Programa de Formação Universitária para Maiores de 50 anos.

Fotografia de árvores sem folhas e de bancos de jardim

Estudantes de pós-graduação em Matemática da Faculdade de Ciências da ULisboa falam, de forma descontraída e informal, sobre o seu trabalho.

Fotografia de sinal identificativo de vinha

Apresentação de candidaturas até 28 de fevereiro.

Seminário Doutoral II (Doutoramento em Biologia), por Ana Sofia Lopes.

Seminário do Centro de Estatística e Aplicações da Universidade de Lisboa e do Centro de Matemática Computacional e Estocástica, por Bruno Santos (Stockholm University, Sweden).

Hi-Phi Seminar, por Ana Simões (CIUHCT/Ciências) e Ana Matilde Sousa (CIEBA/FBAUL).

Conferência do Centro Interuniversitário de História das Ciências e da Tecnologia, por Luís Campos Ribeiro (CIUHCT, Ciências ULisboa).

Título/data/local do evento, logótipo do projeto e fotografia da oradora

Seminário TWIN2PIPSA, por Sophie Jackson (Yusuf Hamied Department of Chemistry, University of Cambridge).

Theory of Computing Seminar, por Mateusz Skomra (LAAS/CNRS).

Título do evento, sobre uma fotografia do Large Hadron Collider

The objective of the course is to introduce the physics, analysis methods and results on the physics areas covered by the LHC experiments.

Seminário Doutoral II (Doutoramento em Biologia), por Susana Martins.

Colóquio de Matemática, por José Francisco Rodrigues (DM-Ciências ULisboa).

Título/data/local do evento e logótipos dos organizadores

O Departamento de Matemática e o Núcleo de Estudantes de Matemática e Matemática Aplicada associam-se às celebrações do Dia Internacional da Matemática.

Seminário do Centro de Estatística e Aplicações da Universidade de Lisboa e do Centro de Matemática Computacional e Estocástica, por Gustavo Soutinho (Faculdade de Economia da Universidade do Porto - FEP e Instituto Superior de Saúde Pública da Universidade do Porto - ISPUP).

Logótipo do Dia Internacional da Matemática, sobre um fundo branco

Atividades a decorrer em Ciências ULisboa nos dias 13 e 14 de março.

Mão humana a interagir com um ecrã virtual

Novos prazos de submissão de candidaturas a projetos IC&DT e PeX.

Fotografia de participantes numa anterior edição da Jobshop Ciências

O maior evento de empregabilidade de Ciências, a decorrer nos dias 09 e 10 de abril.

23 de abril de 2024 assinalamos o 113.º aniversário da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

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