Seminário

Canonical extensions of lattices are more than perfect

Sala 6.2.33, FCUL, Lisboa

Por Miroslav Haviar* (Matej Bel University, Banská Bystrica, Slovakia).

*a joint work with Andrew P.K. Craig (Johannesburg) and Maria J. Gouveia (Lisbon)

Abstract: Canonical extensions of lattice-based algebras originated in the 1951-52 papers of B. Jónsson and A. Tarski on Boolean algebras with operators. When the members of a variety of lattice-based algebras are algebraic models of a logic, canonicity (meaning that algebraic identities are preserved when constructing canonical extensions of algebras) leads to completeness for the associated logic. The concept has been intensively studied for distributive lattice expansions, and more generally for lattice and even poset expansions, during the last 25 years (M. Gehrke, J. Harding, B. Jónsson, A. Palmigiano, H.A. Priestley, Y. Venema, and others).

We present a brief overview of the studies of the canonical extensions of lattices. We then present results of our work where we consider properties of the graphs that arise as duals of bounded lattices in Ploščica's representation (1995) via maximal partial maps into the two-element set (this recasts Urquhart’s representation from 1978 in the spirit of the natural dualities). We introduce TiRS graphs which abstract the considered lattice duals. We demonstrate a one-to-one correspondence of TiRS graphs with so-called TiRS frames which are a subclass of the class of RS frames introduced by Gehrke (2006) to represent perfect lattices. This yields a dual representation of finite lattices via finite TiRS frames, or equivalently finite TiRS graphs, which generalises the well-known Birkhoff dual representation of finite distributive lattices via finite posets from the 1930s.

We indicate our recent investigations in this topic. We show that the canonical extensions of lattices are more than perfect - they are perfect lattices satisfying an extra (PTi) condition. Thus they belong to a newly introduced class of (PTi) lattices that correspond to our TiRS frames (resp. TiRS graphs). We also show that there are (PTi) lattices that are not the canonical extension of any bounded lattice. On the side of the relational structures this extends the notion of a non-representable poset to the duals of non-distributive lattices. We present questions that can be of interest to researchers in this and related areas.

17h00
CEMAT-Ciências - Centro de Matemática Computacional e Estocástica
Fotografia de árvores sem folhas e de bancos de jardim

Estudantes de pós-graduação em Matemática de CIÊNCIAS falam, de forma descontraída e informal, sobre o seu trabalho.

Título/data/local do evento e fotografia do orador

Talk @DI, por Alex Davidson (DI/FCUL).

Logótipo da exposição

Esta exposição reflete o futuro do Design em Portugal e estará patente ao público até 28 de março.

Banner do Dia do DEGGE 2025.

A 20 de fevereiro, contamos contigo para um evento dedicado às três áreas de estudo do Dia do Departamento de Engenharia Geográfica, Geofísica e Energia: Engenharia da Energia e Ambiente; Meteorologia, Oceanografia e Geofísica; Engenharia Geoespacial.

Título/data do programa, logótipo da ULisboa e fotografia de jovem a ouvir música de olhos fechados

Uma introdução à prática de meditação onde vais aprender a gerir as tuas emoções, pensamentos e desenvolver um relacionamento saudável contigo e com os outros - inscrições até 21 de fevereiro.

Seminário do Centro de Física Teórica e Computacional, por Cátia Pesquita (LASIGE).

Título/data/local do evento e fotografia de vegetais

Workshop hands-on, dirigido a todos os estudantes da ULisboa.

Pormenor de pessoa sentada a ler um livro

Maiores de 50 anos - Candidaturas até 14 de fevereiro.

Seminário de Geometria, por Marcos Petrúcio Cavalcante (Universidade Federal de Alagoas - UFAL).

Logótipo do evento

An annual event aimed to promote the research done by CIÊNCIAS Researchers in the field of Biotechnology, with a special emphasis on Blue and Green biotechnological solutions for a sustainable tomorrow.

NCPInTheHouse 2025

Registration on the workshop is free but mandatory - deadline: 24 February.

CIÊNCIAS na feira Unlimited Future: 27 de fevereiro

Se queres saber mais informações sobre os cursos de CIÊNCIAS, não deixes de participar!

Título "Bolsas de Doutoramento Unite! ULisboa", logótipos das entidades promotoras e fotografia de jovem investigadora a utilizar um laptop na esplanada de um café

O 4.º concurso decorre até 28 de fevereiro.

Título "Bolsas Alumni Solidárias" e fotografia de grupo de alunos

As candidaturas decorrem até 28 de fevereiro.

Pormenor de membro de orquestra

Concerto no âmbito do programa Música na Universidade de Lisboa.

Composição de imagens relativas à área das ciências forenses

O curso visa disponibilizar aos profissionais com formação universitária inicial ao nível da licenciatura os conhecimentos básicos e a informação necessária ao eventual futuro ingresso e exercício de funções em áreas Médico-Legais e Forenses - candidaturas até 05 de fevereiro.

Pormenor da capa do livro

O livro resulta do projeto de investigação Saúde e Estilos de Vida no Ensino Superior em Portugal (ES+Saúde) - inscrições na sessão até 27 de fevereiro.

Cientista a trabalhar com tubos de ensaio

O curso forma profissionais para atividade na área das Análises Clínicas ou Patologia Clínica - candidaturas até 14 de fevereiro.

Os participantes neste workshop ficarão a saber mais sobre como executar uma enxertia sem erros, para além dos cuidados a ter com as árvores de fruto ao longo do ano.

Logótipo do evento

A iniciativa tem como principal objetivo promover uma discussão construtiva sobre a estratégia da ULisboa no âmbito da sustentabilidade e destacar boas práticas das Escolas apresentadas pelas Associações de Estudantes.

Título do curso

Ao longo de 10 horas serão abordados temas tais como contornar as principais dificuldades na comunicação da Biodiversidade, como usar histórias, ou a importância dos conceitos científicos na hora de os comunicar.

Logótipo do Dia Internacional da Matemática

Atividades a decorrer em CIÊNCIAS nos dias 14 e 19 de março.

Título "Jornadas de Matemática" e logótipos das entidades envolvidas

O Departamento de Matemática e o Núcleo de Estudantes de Matemática e Matemática Aplicada associam-se às celebrações do Dia Internacional da Matemática.

Planta

As candidaturas terminam a 20 de março, estando previstos vários eventos de matchmaking para ajudar os participantes a encontrar parceiros para os seus projetos.

Título "Cybersecurity Executive Program Edição 2025", sobre um fundo em tons de verde

Candidaturas até 06 de março.

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