Lisbon Webinar in Analysis and Differential Equations

Regularity of the minima of integral shape functionals: the non-degenerate case

Sala P3.10, Instituto Superior Técnico (com transmissão via Zoom)

Por Dario Mazzoleni (Università di Pavia).

We deal with a regularity theorem for the free boundary of solutions to shape optimization problems with integral functionals, for which the energy of a domain $\Omega$ is obtained as the integral of a cost function $j(u,x)$ depending on the solution $u$ of a certain PDE problem on $\Omega$. The main feature of these functionals is that (in general) the minimality of a domain $\Omega$ cannot be translated into a variational problem for a single (real or vector valued) state function, which is the starting point in all the previous regularity results for optimal shapes.

In this paper we focus on the case of affine cost functions $j(u,x)=-g(x)u+Q(x)$, where $u$ is the solution of the PDE $-\Delta u=f$ with Dirichlet boundary conditions. We obtain the Lipschitz continuity and the non-degeneracy of the optimal $u$ from the inwards/outwards optimality of $\Omega$ and then we use the stability of $\Omega$ with respect to variations with smooth vector fields in order to study the blow-up limits of the state function $u$.

By performing a triple consecutive blow-up, we prove the existence of blow-up sequences converging to homogeneous stable solution of the one-phase Bernoulli problem and according to the blow-up limits, we decompose $\partial\Omega$ into a singular and a regular part. In order to estimate the Hausdorff dimension of the singular set of $\partial\Omega$ we give a new formulation of the notion of stability for the one-phase problem, which is preserved under blow-up limits and allows to develop a dimension reduction principle. Finally, by combining a higher order Boundary Harnack principle and a viscosity approach, we prove $C^\infty$ regularity of the regular part of the free boundary (if the data are smooth).

The Lisbon Webinar in Analysis in Differential Equations is a joint iniciative of CAMGSD, CMAFcIO and GFM, three research centers of the University of Lisbon. It is aimed at filling the absence of face-to-face seminars and wishes to be a meeting point of mathematicians working in the field.


Transmissão via Zoom (pw: lisbonwade).

13h30-14h30
Computador portátil a projetar imagem de sequência biológica

O curso visa a aquisição de conhecimentos sobre as ferramentas bioinformáticas disponíveis para efetuar análises de sequências de DNA e proteínas, bem como a autonomia e espírito crítico na utilização dessas ferramentas. Procura igualmente desenvolver competências na utilização de software de bioinformática disponível gratuitamente na Internet e na interpretação do significado biológico dos resultados - candidaturas até 12 dezembro.

Bola de cristal colocada no solo

O curso tem como objetivo apresentar aos participantes um estado da arte atualizado sobre a diversidade da biota do solo e os papéis funcionais desempenhados pelos organismos do solo nos principais processos ecológicos - candidaturas até 19 de dezembro.

Imagem exemplificativa da área da deteção remota

Este curso avançado tem como objetivo fornecer acesso e ferramentas para a aquisição e processamento de dados de deteção remota para diferentes aplicações, usando imagens multiespectrais de satélite, drone, terrestres e LiDAR, com foco na caracterização da vegetação e da paisagem, bem como das suas mudanças ao longo do tempo - candidaturas até 19 de dezembro.

Imagem abstrata

Neste curso, será promovida uma abordagem multidisciplinar, apresentando as descobertas mais recentes sobre o tema e desafiando a forma tradicional de considerar as associações simbióticas como exceções e não como a regra - candidaturas até 09 de janeiro.

A conferência visa reunir os principais especialistas no domínio da Imagiologia Médica por Micro-ondas (MMWI) e incluirá palestras, apresentações e pósteres de resumos revistos por pares e artigos de conferências, bem como workshops em áreas satélite de investigação com interesse para a investigação em MMWI.

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