Mathematical Logic Webinar

A Constructive Proof of the Univalence Axiom (Part II)

Videoconferência

Por Clarence Protin.

The homotopy type theory/univalent foundations program aims at providing a type theory for proof assistants and proof checkers suitable for formalising mathematics and in particular homotopy theory.

The original version of homotopy type theory/univalent foundations is based on dependent type theory to which are added axioms for function extensionality and univalence. The basic idea is that concepts of homotopy theory are applied to the treatment of equality types. Roughly speaking, the univalence axiom gives formal justification for the standard mathematical practice of "identifying isomorphic structures."

Voevodsky gave a model of homotopy type theory based on simplicial sets. However this model made essential use of classical logic. Furthermore in the original version univalence is introduced via a postulated constant with no computational interpretation. Since the constructive nature of type theories is a major philosophical and practical advantage an important task in subsequent research has been to give a computational interpretation to the axioms and to find a constructive model.

Since the first cubical set model was proposed around 2014 by Bezem and Coquand required additional operations on cubical sets (such as Kan operations and contraction) have been brought to light as well as the necessity of extending the original syntax of homotopy type theory with new constructors to express these operations. Such systems are called cubical type theories. The most promising model has been the cubical set model presented in the paper of Cohen, Coquand, Huber and Mörtberg (2018) which is based on free De Morgan algebras over names. In the associated cubical type theory function extensionality and the univalence axiom actually become theorems.

In these talks we give a leisurely elementary introduction to the syntactical aspects of cubical type theory as found in the paper of Cohen et al. and present in detail the proof of the univalence axiom using Glue types. We also attempt to explain some of the geometric and topological intuitions behind the use of De Morgan algebras over names. Our presentation does not require any background in category theory or homotopy theory, only some acquaintance with natural deduction and type theory. Finally we touch briefly upon some ideas for actual implementations of cubical type theory which might address some of the efficiency problems.


Transmissão via Zoom.

16h00
CMAFcIO - Centro de Matemática, Aplicações Fundamentais e Investigação Operacional
Título/data/local do evento e fotografia do orador

BioISI Research Seminar, por Nuno Bandeira.

TWIN2PIPSA Expert Seminar, por Graça Minas (Departamento de Eletrónica Industrial, Escola de Engenharia, Universidade do Minho).

Copilot Chat

Nesta sessão, serão exploradas as funcionalidades e benefícios do Microsoft 365 Copilot Chat de forma personalizada à comunidade académica de CIÊNCIAS.

Logótipo Moodle

Ação de formação para docentes e investigadores de CIÊNCIAS.

Seminário de Lógica Matemática, por Duarte Maia (University of Chicago).

Logótipo Mentimeter

Ação de formação para docentes e investigadores de CIÊNCIAS.

Fotografia de alimentos

06 de junho: comemoração do Dia Mundial da Segurança dos Alimentos em CIÊNCIAS.

Luís Saraiva (Ciências ULisboa) é o coordenador nacional do evento.

Título/data/local do evento e iconografia representativa de energias renováveis

Competição de barcos movidos a energia solar!

Neste curso ficarás a saber como te podes tornar um permacultor eficiente, produtivo e consciente! O curso está preparado para iniciantes na prática de permacultura.

Formação - Cultivar em Permacultura.

Pessoas a interagirem em frente a um computador portátil

A ULisboa promove um conjunto de ações de formação com o objetivo de reforçar a capacitação para a submissão de candidaturas a oportunidades de financiamento disponibilizadas pelos programas European Research Council (ERC) e European Innovation Council (EIC) nos meses de junho e julho. No mês de outubro outras formações estão agendadas, no que toca às candidaturas a projetos colaborativos do programa Horizon Europe.

Químico a escrever fórmulas num quadro

Curso acreditado para efeitos de progressão na carreira dos professores do Ensino Básico e Secundário do Grupo 510 (CCPFC/ACC-118288/22).

Curso destinado a estudantes de Mestrado e de Doutoramento, bem como a profissionais que desenvolvam investigação científica na área da saúde.

Título/data/local do evento e fotografia do mar

Quais são os conceitos-chave para enfrentar os atuais desafios marinhos e costeiros? 

Representação de programação R

This course aims at providing students with basic knowledge of R programming, allowing them to manipulate and visualize data with R.

Daniel da Silva Distinguished Lecture, por Jean-Pierre Bourguignon (IHÉS).

Título "Jornadas Científicas ULisboa" e composição com os logótipos da ULisboa e da União Europeia

A edição de 2025 das Jornadas é dedicada ao tema "Universidade de Lisboa no Espaço Europeu de Investigação: Construir Carreiras Académicas Atrativas, Fortalecer Instituições".

The conference focuses on "Algebra and its role in Computer Science", with special emphasis on the areas of study related to the work of M. V. Volkov, such as semigroups and automata.

Luz a atravessar nuvens

O concerto integra o programa Música na Universidade de Lisboa, numa parceria com a Orquestra Académica da Universidade de Lisboa, naquele que é o Concerto Final de Temporada.

Logótipo do Verão na ULisboa, sobre um fundo azul

Uma iniciativa da Universidade de Lisboa que proporciona a oportunidade única, aos alunos do 8.º ao 12.º anos de estudo, ou que tenham já concluído o 12.º ano, de ficar a conhecer e experimentar o ritmo e o espírito da vida académica na Universidade.

Workshop organizado pelo CEMS.UL - Centro de Estudos Matemáticos e pelo CAMGDS - Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos.

Representação de programação R

This course aims at providing students with statistical knowledge and tools to manipulate, analyse and visualise biological data with R. Introduction to modeling, simulations and Bayesian statistics.

Título/data/local do evento e fotografia do espaço

How far will you go? The IA Summer Program 2025 is your launchpad to the Universe!

Horta Solar

E se fosse possível experimentar um curso universitário antes de concorrer ao ensino superior? Agora já é!

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