Objetivos da Unidade Curricular

Domínio do cálculo diferencial, integral e vectorial de funções de várias variáveis: derivadas parciais, derivadas de funções compostas, utilização de funções implícitas e suas derivadas; problemas de extremo; integrais duplos e triplos, integração sucessiva e por mudança de variáveis, com ênfase no uso de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas; manipulação de campos escalares e vectoriais, utilização de integrais de linha e de superfície, e versões elementares dos teoremas clássicos de Green, Stokes e Gauss.

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Pré-requisitos

• Cálculo Diferencial e Integral I (13548)
• Álgebra Linear e Geometria Analítica A (13552)

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Conteúdos

1. Curvas, Limites e Continuidade em IRn.

2. Bases do Cálculo Diferencial em IRn.

3. Bases do Cálculo Integral em IRn.

4. Introdução à Análise Vectorial.

 

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Descrição detalhada dos conteúdos programáticos

Componente Teórica

1. Curvas, Limites e Continuidade em IRn: os espaços euclidianos IRn; conjuntos abertos, conjuntos fechados, conjuntos compactos; limite de sucessões em IRn; curvas,  vector tangente, velocidade e aceleração; coordenadas curvilíneas; funções de IRn em IRm, limites, continuidade, propriedades básicas das funções contínuas; teorema de Weierstrass.

2. Bases do Cálculo Diferencial em IRn: derivadas parciais e direcionais, teorema de Schwarz sobre as derivadas mistas; diferenciabilidade; plano tangente e aproximação linear; matriz jacobiana; regra da cadeia; significado do gradiente; superfícies de nível; funções dadas implicitamente e cálculo das suas derivadas; fórmula de Taylor; problemas de extremo e de extremo condicionado.

3. Bases do Cálculo Integral em IRn: integral de Riemann de funções contínuas; propriedades básicas; teoremas de Fubini e de mudança de varíavel; cálculo de integrais duplos e triplos; utilização de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas; aplicações ao cálculo de grandezas de natureza geométrica ou física como volumes, massa, centro de massa; densidade.

4. Introdução à Análise Vectorial: campos vectoriais; divergência e rotacional; integral de caminho; campos vectoriais conservativos e teorema de Poincaré; teorema de Green; superfícies elementares parametrizadas; integral de superfície; teoremas da divergência e de Stokes.

 

Componente Teórica-Prática

Resolução de exercícios sobre os conceitos e teoremas estudados.

 

Componente Prática

n.a.

 

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Bibliografia

Recomendada

- C. Canuto, A. Tabacco, Mathematical Analysis II, Springer 2010.

- Sallas, Hille, Etgen, Calculus, one and several variables, John Wiley and Sons 2007.

- C. Sarrico, Cálculo Diferencial e Integral, Esfera do Caos, 2009.

 

Outros elementos de estudo

- T. M. Apostol, Calculus, Vol. II, 2nd. Edition, Xerox Corporation, 1969.

- R. Courant e F. John, Introduction to Calculus and Analysis, Vol. I e II, Interscience Publishers (mais avançado).

- T. Faria, Notas de curso, FCUL.

- R. Larson, R.P. Hostetler e B.H. Edwards, Cálculo, Vol. II 8a.ed., McGraw Hill, S. Paulo, 2006.

- J. Marsden e A. Weinstein, Calculus, Vol. III, 3rd. Edition, Springer–Verlag, 1991.

- L. Sanchez, Análise em Rn, Vol. I: M étodos do Cálculo Diferencial, A.E.F.C.L., 1997; Vol. II: Integração e Análise Vectorial, A.E.F.C.L., 1994.

- J. Stewart, Cálculo, Vol. II (5a. ed.) Thomson, S. Paulo, 2006.

 

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Métodos de Ensino

Aulas teóricas para exposição dos conteúdos, acentuando as ideias principais, com a inclusão de algumas demonstrações seleccionadas e muitos exemplos ilustrativos.

Aulas teórico-práticas de resolução de exercícios a partir de uma lista previamente fornecida aos alunos. A resolução é dinamizada pelo professor. Os estudantes são encorajados a resolver autonomamente uma parte das questões e expôr a sua resolução na aula.

 

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Métodos de Avaliação

Exame escrito final e, eventualmente, exame oral.

 

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Língua de ensino

Português