António Almeida Costa nasceu a 25 de maio de 1903, em Celorico da Beira.

Em 1919 terminou, com a classificação de 19 valores, os estudos no Liceu da Guarda e ingressou no 1.º ano do curso de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, que concluiu com êxito, tendo sido premiado. Após um ano de interrup­ção, matriculou-se na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto, onde, em 1924, ter­minou a licenciatura em Ciências Matemáticas, com 19 valores, tendo sido distinguido com os prémios “Gomes Teixeira” e “Gomes Ribeiro”.

A sua carreira de docente na Faculdade de Ciências da Universidade do Porto foi iniciada em 1924, como 2.º Assistente, no grupo das Matemáticas Aplicadas, tendo em 1933 passado a Professor Auxiliar, em 1937 a Professor Extraordinário e em 1950 a Professor Catedrático de Mecânica e Astronomia. Em 1952, por convite do grupo de Matemática, foi Titular de Álgebra Superior, na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, a qual lhe outorgou, em 1961, o título de Doutor.

Nos primeiros anos da sua vasta carreira, lecionou disciplinas de Astronomia, Mecânica Celeste e Geodesia. Em 1937, obteve uma bolsa do Instituto para a Alta Cultura com o fim de estudar Física Teórica, particularmente Mecânica Quântica e Teoria da Relatividade, no Physikalische Institut, em Berlim, onde ficou 22 meses. No primeiro ano frequentou vários cursos de Física, nomeadamente sobre Eletricidade Teórica e Mecânica Quântica. No ano letivo seguinte, frequentou cursos de Teoria dos Quanta, de Aplicação da Teoria dos Grupos à Teoria dos Quanta, de Teoria das Matrizes e de Teoria da Representação na Mecânica Quântica. Advém daí a sua orientação para a Teoria das Representações de Grupos e, consequentemente, para a Álgebra Moderna, como era designada na época, à qual viria a dedicar toda a sua atividade científica posterior.

De regresso ao Porto, continuou a lecionar na área da Mecânica Celeste e prosseguiu o estudo de vários assuntos de Álgebra que havia iniciado na Alemanha.

Em 1942, começou a publicar os resultados dos seus novos estudos nas edições do Centro de Estudos Matemáticos do Porto, então dirigido por Ruy Luís Gomes, e que tinha António Almeida Costa como responsável pelo domínio da Álgebra, Ruy Luís Gomes pelo domínio da Medida e Integração e António Aniceto Monteiro pelo domí­nio da Topologia Geral.

Por convite, dirigiu as publicações de Álgebra Moderna da Junta de Investigação Matemática. Em 1945, e a convite da Sociedade Portuguesa de Matemática, pronun­ciou, em Lisboa, algumas conferências sobre Álgebras em Quântica.

De 1952 a 1973 lecionou, na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, Geometria Descritiva, Geometria Superior, Física Matemática e várias disciplinas de Álgebra. No início desse período, lecionou também Matemáticas Gerais, no Instituto Superior Técnico.

Em 1964, quando da reforma do plano de estudos das licenciaturas em Matemática, defendeu, com veemência, a introdução da disciplina de Álgebra Linear no curriculum do 1.º ano.

Desde a sua vinda para a Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, passou a organizar um seminário semanal, onde eram estudados os assuntos que mais lhe inte­ressavam, transmitindo o seu entusiasmo pela Álgebra Moderna. Foram abordados temas de Teoria dos Grupos, de Teoria dos Anéis e de Teoria dos Corpos, bem como de Topologia Algébrica, Mecânica e Física Matemática. A sua obra Sistemas Hipercomplexos e Representações foi divulgada entre os participantes. Do grupo de participantes nesse seminário, fizeram parte vários jovens investigadores, de que se destacaram José Tiago de Oliveira, A. Coimbra de Matos, Fernando Dias Agudo, Fernando Veiga de Oliveira, José Joaquim Dionísio, Maria Luísa Galvão e Margarita Ramalho, entre outros. Com entusiasmo e empenho iniciou a primeira escola de algebristas portugueses. Com alguns elementos deste grupo, e outros que se lhes juntaram mais tarde, consti­tuiu vários projetos de investigação do Instituto de Alta Cultura, sendo o último o LM 4. Foi este projeto que esteve na origem do atual Centro de Álgebra da Universidade de Lisboa (CAUL), de que António Almeida e Costa foi, em 1976, um dos proponentes, e grande defensor até ao seu falecimento.

António Almeida Costa foi um dos primeiros a empenhar-se na orientação de doutoramentos em Álgebra em Portugal, e os projetos de investigação do Instituto de Alta Cultura, que dirigiu nos anos 50 e na primeira metade dos anos 60, visavam o estudo aprofundado e a investigação em Teoria dos Grupos e em Teoria dos Anéis, bem como em generalizações destas. Esteve na origem do estudo, em Portugal, da Teoria dos Semigrupos e da Teoria dos Semi-anéis.

Orientou as teses de doutoramento de José Tiago de Oliveira (Residuais de Sistemas e Radicais de Anéis - 1957), A. Coimbra de Matos (Sobre sistemas de divisão direita com unidade direita - 1960), Maria Luísa Galvão (Sobre a teoria de Noether-Krull em semi-anéis - 1963) e Margarita Ramalho (Problemas de perspectividade em conjuntos parcialmente ordenados e em reticulados - 1971).

A sua vasta obra científica estendeu-se por várias áreas da Matemática, tendo os seus primeiros trabalhos sido dedicados à Análise Matemática, ao Cálculo Vetorial (1931), à Geometria e à Dinâmica dos Sistemas Holónomos (1932).

Após os seus estudos na Alemanha, passou a publicar na área dos Grupos, Anéis e Ideais, sendo a sua obra Sistemas Hipercomplexos e Representações publicada em 1948.

Na década de 50, publicou dois livros: Curso de Álgebra Abstracta (1954) e Elementos de Álgebra Linear e de Geometria Linear (1958).

Até à sua jubilação, em 1973, publicou vários artigos, particularmente nas áreas das Teorias dos Anéis, dos Módulos e dos Semi-anéis, nos Anais da Faculdade de Ciências do Porto, na Revista da Faculdade de Ciências de Lisboa, no Boletim e Memórias da Academia das Ciências de Lisboa, no Seminário Dubreil-Pisot (Paris), na Publication Mathematicae de Debrecen (Hungria), na Mathematische Zeischrift (Alemanha). Publicou ainda dois dos três volumes do Cours d´Álgèbre Générale, pela Fundação Calouste Gulbekian (1964 e 1967). O terceiro destes volumes foi editado em 1974, já após a sua jubilação, e apresenta,  numa das partes, a Teoria dos Semi-anéis.

Fez várias conferências no Instituto Henri Poincaré (Seminário Dubreil-Pisot), em Paris, e tomou parte nas Jornadas de Álgebra realizadas neste Seminário, por ocasião do cen­tenário da Sociedade Matemática de França. Participou em vários congressos cientí­ficos, nomeadamente em Lisboa, Porto, Coimbra, Aveiro, Jaca, Málaga, Madrid, Sevilha, Palma de Maiorca, Budapeste, Edimburgo e Estocolmo. Saliente-se também a sua participação, em 1962, no Simpósio da Teoria dos Anéis organizado pela Sociedade Matemática da República Federal Alemã, em Oberwolfach. Proferiu ainda palestras nos Congressos da Associação Espanhola para o Progresso das Ciências e, devido à sua iniciativa, foram organizadas, em Lisboa, as primeiras Jornadas Matemáticas Luso-Espanholas (1972).

Em 1959, foi eleito membro correspondente da Academia das Ciências de Lisboa, tendo, em 1972, passado a membro efectivo. Foi sócio da Sociedade Portuguesa de Matemática e da American Mathematical Society e sócio honorário da Real Sociedade de Matemática Espanhola.

Para além da sua atividade como professor e investigador, António Almeida Costa desempenhou outras funções. Foi diretor do Centro de Matemáticas Aplicadas ao estudo da Energia Nuclear, em Lisboa, foi membro da Junta Nacional de Educação, da Comissão de Investigação do Instituto de Alta Cultura e da Comissão de Ciência da Fundação Calouste Gulbenkian. Foi também diretor da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, nos últimos anos da sua carreira (1972 e 73). Em 1976 foi eleito vice-presidente, e em 1977 presidente, da Academia das Ciências de Lisboa.

Em 1973 foi agraciado com a Comenda de Santiago da Espada.

Faleceu em Lisboa em 24 de agosto de 1978.