Nuno da Costa Pereira
Análise Complexa (2023)

Na primeira parte deste livro descrevem-se os conceitos e resultados necessários para estabelecer em bases sólidas os métodos que formam o núcleo da teoria das funções de uma variável complexa.

Seguidamente apresentam-se alguns dos aspectos mais relevantes desta teoria, que incluem a versão geral da fórmula integral de Cauchy, desenvolvimentos em série de funções meromorfas, uma generalização do teorema dos resíduos, o estudo da factorização das funções inteiras, uma análise pormenorizada do princípio do módulo máximo, o teorema da aplicação de Riemann e os teoremas de Picard.

Como aplicação da teoria exposta segue-se um estudo detalhado das funções gama e digama que inclui o cálculo de alguns integrais definidos, um método genérico para determinar a soma de uma classe de séries numéricas e a dedução de várias formas da aproximação de Stirling.

O livro termina com um estudo da função zeta de Riemann onde se dá especial relevo à distribuição dos respetivos zeros e à sua relação com a sucessão dos números primos.

Versão Digital (28)

Versão em papel: 16,00€
 

Armando Machado
Determinantes e Produto Exterior sem Permutações (2022)

O determinante de uma matriz do tipo n x n com termos num corpo K é frequentemente caracterizado a partir da existência e unicidade de uma forma multilinear alternada com n variáveis em Kⁿ que tome o valor 1 quando aplicada aos elementos da base canónica. Só aparentemente com maior generalidade, dado um espaço vectorial E de dimensão n onde se fixou uma base orientada, existe uma única forma multilinear alternada com n variáveis em E que tome o valor 1 nos elementos da base fixada. Neste livro explora-se um caminho para o estabelecimento deste resultado que não utiliza, ao contrário do que é usual, o estudo do grupo das permutações de n elementos. Esse caminho é facilmente adaptado ao estudo mais geral do espaço das aplicações multilineares alternadas com p ≤ n variáveis, contexto em que a operação produto exterior joga um papel importante. O caminho seguido conduz à possibilidade de obter de modo natural vários resultados envolvendo o determinante, incluindo o desenvolvimento de Laplace, o teorema de Binet-Cauchy e o teorema de Hamilton-Cayley.

Versão Digital (27)

Versão em papel: 5,50€

Armando Machado
Tópicos de Topologia Geral e Análise Funcional (2019)

Este livro centra-se numa exposição dos conceitos e resultados básicos da Topologia Geral e da Análise Funcional, esta última no contexto dos espaços de Banach e, em particular, de Hilbert. Em complemento apresenta-se uma exposição do Cálculo Diferencial no contexto dos espaços de Banach, reais ou complexos, que inclui uma introdução ao estudo das funções holomorfas com domínios e valores em espaços de Banach complexos.

Versão Digital (26)

Versão em papel: 15,50€ cada

Maria Adelaide Carreira
Maria Suzana Metello de Nápoles
Variável Complexa (2016)

Este texto destina-se a uma primeira abordagem da Variável Complexa, em língua portuguesa. Apresenta a teoria elementar com uma  exposição simples, embora rigorosa, cobrindo os assuntos que normalmente fazem parte dos programas que abordam este tema. O desenvolvimento teórico é sempre acompanhado de exemplos.

Armando Machado
Análise Matemática I (2014)

Este texto tem como principal objetivo servir de apoio à lecionação do primeiro semestre de Análise Matemática para as licenciaturas em Matemática e Matemática Aplicada da FCUL.

O nível de detalhe com que as matérias são apresentadas corresponde ao desejo de desenvolver no estudante hábitos de rigor que ele não terá eventualmente encontrado antes de entrar na Faculdade, procurando-se que o rigor não fosse sinónimo de formalismo nem inibisse a destreza do cálculo. Existiu também a preocupação de apresentar, sempre que apropriado, exemplos de aplicação dos assuntos estudados.

Versão Digital (24)

Versão em papel: 10,00€ cada

Armando Machado
Medida e Integração (2011)

Este texto reformula e amplia uma publicação informal anterior do autor na mesma área e visa constituir um elemento de apoio e de estudo complementar para a disciplina Integral e Aplicações do terceiro ano da Licenciatura em Matemática. Para além do estudo das medidas e dos correspondentes integrais de funções positivas e vetoriais, é abordada uma introdução à aplicação deste estudo na área da Análise Funcional.

Versão Digital (23)

Versão em papel: 10,00€ cada

Gracinda M. S. Gomes
Anéis e Corpos - uma introdução (2011)   

Este texto foi preparado para os alunos de Álgebra II do 2. ano da Licenciatura em Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. Aqui se apresentam os conceitos e resultados que constituem as bases da Teoria dos Anéis, em particular da dos Anéis de Polinómios numa indeterminada, e da Teoria dos Corpos. A matéria teórica é ilustrada com exemplos e acompanhada de exercícios

Versão Digital (22)

A versão digital é a versão revista e que foi publicada em 2021

8,00€

Nuno da Costa Pereira
Teoremas Clássicos de Integração - Um Curso Avançado (2010)    

Neste livro são abordados temas diversos relacionados com a integração de funções reais ou complexas de uma variável real. Para além de uma teoria detalhada dos integrais de Riemann e de Riemann-Stieltjes, o livro  expõe  os resultados mais relevantes sobre a teoria das funções definidas por integrais paramétricos e inclui teoremas menos divulgados sobre a permutabilidade de integrais.

De entre as aplicações da teoria aqui desenvolvida destacam-se  o  cálculo  de uma ampla gama de integrais clássicos com recurso a técnicas  variadas  de análise real, bem como um tratamento pouco convencional da função gama e da função zeta de Riemann, no qual estão ausentes os métodos característicos da teoria das funções de variável complexa.

Pedro Jorge Freitas
Polinómios (2010)

Neste livro começamos por apresentar a teoria da factorização dos números naturais, por ter sido o modelo para o desenvolvimento da teoria geral. Tentámos caminhar sempre no sentido de motivar as estruturas mais abstratas a partir de exemplos e resultados mais concretos e simples.

No primeiro capítulo apresentamos a teoria da factorização em domínios de integridade, aplicando-a depois a anéis de polinómios, terminando com as consequências desta teoria para polinómios a várias indeterminadas, e com uma demonstração fortemente algébrica do teorema fundamental da álgebra.

Na segunda parte apresentaremos tanto algumas aplicações como alguns desenvolvimentos, que são, por sua vez, os fundamentos da geometria algébrica e da teoria dos corpos. Terminamos com o Nullstellensatz, ou teorema dos zeros de Hilbert, do qual apresentamos duas demonstrações.

Pedro Jorge Freitas
Tópicos de Álgebra Superior (2005)

Este livro surgiu dumas folhas escritas entre os anos de 2001 e 2003 para a cadeira de Álgebra Superior, cadeira do terceiro ano da licenciatura em Matemática, e é daí que vem a escolha dos tópicos. Destina-se a estudantes de matemática relativamente avançada, seja a nível de licenciatura, seja a nível de estudos graduados — nesse caso, o livro pode fornecer um primeiro contacto com estas matérias, para um estudo independente.

Cada um dos capítulos apresenta, depois de uma pequena introdução histórica, um tratamento elementar da teoria, a partir das definições básicas. No primeiro capítulo, depois de um estudo dos reticulados completos, modulares e distributivos, é apresentado o teorema de Jordan-Hölder. No segundo capítulo, depois dos conceitos e resultados mais gerais, estudam-se módulos livres e módulos de comprimento finito. No terceiro capítulo estuda-se o produto tensorial de módulos, com uma atenção especial aos espaços vetoriais.

O texto é acompanhado de vários exemplos, tanto da álgebra como de outras áreas da matemática, e no fim de cada capítulo é apresentada uma lista de exercícios. Alguns destes encontram-se resolvidos no final do livro.

Este livro ganhou em 2005 um dos Prémios António Almeida Costa, da Academia das Ciências de Lisboa, para monografias em Álgebra.

José Joaquim Dionísio
Fundamentos da Geometria, 2.ª Ed. (2011)

Neste livro que agora se edita José Joaquim Dionísio desenvolve nos seis primeiros capítulos uma geometria absoluta, com os seus axiomas de incidência, de ordem, de congruência e de continuidade, com resultados que são válidos quer na geometria de Euclides, quer na de Lobatchevski, quer dizer, independentemente do axioma das paralelas que se adote. Uma tal geometria é incompleta no sentido de admitir enunciados indecidíveis e o autor ocupa-se então no capítulo 7 da geometria euclidiana (em que se admite a unicidade da paralela) e no capítulo seguinte da geometria lobatchevskiana (na qual se aceita que por um ponto não pertencente a uma reta passa mais do que uma paralela à reta dada). Num último capítulo definem-se e estudam-se algumas propriedades interessantes de inversões espaciais, rotações e translações. Em anexo, o livro apresenta um manuscrito digitalizado do Prof. José Joaquim Dionísio, datado de outubro de 1993, com o título Sobre Alguns Pontos Fundamentais de Geometria que coincide, em grande parte, com o texto editado mas que também o completa.

M. C. Póvoas
Métodos Matemáticos da Física - Uma Introdução (2002)

Este livro consiste fundamentalmente numa primeira abordagem da teoria clássica do Cálculo das Variações e das Equações com Derivadas Parciais. No Capítulo 1, após uma referência a vários exemplos de problemas de Cálculo das Variações, deduzem-se as equações de Euler-Lagrange e reobtêm-se os princípios da Mecânica Analítica. No Capítulo 2 inicia-se o estudo das equações com derivadas parciais, utilizando o método das características. Após o estudo das equações lineares, quase-lineares e não lineares de primeira ordem, classificam-se as equações lineares de segunda ordem e demonstra-se a existência e unicidade de solução do problema de Cauchy para um sistema de equações com derivadas parciais lineares de primeira ordem de tipo hiperbólico. Finalmente, no Capítulo 3, estudam-se vários problemas mistos para equações com derivadas parciais de segunda ordem, utilizando o método de Fourier. Além dos exemplos tratados no texto, no final de cada Capítulo é apresentada uma lista de exercícios.

Coletivo
2000 Matemática Radical (2002)

O presente volume reúne os textos correspondentes às 25 palestras proferidas no Departamento de Matemática da FCUL, entre março e dezembro de 2000, no âmbito de um ciclo comemorativo do Ano Mundial da Matemática.

Cada um dos textos trata de um tema de Matemática, com o propósito de colocar em evidência problemas em aberto que neles subsistem. São ilustrações de formulação de problemas matemáticos que surgem nesta ciência e em áreas próximas, feitas por especialistas que meditaram, eles próprios, na sua resolução ou em questões afins.

Os temas cobrem áreas de Álgebra, Análise, Geometria, Lógica e de Aplicações da Matemática, em termos tão sintéticos e acessíveis quanto possível, de modo a que um mínimo de formação matemática permita, pelo menos, a assimilação das ideias e das dificuldades envolvidas.

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Nuno da Costa Pereira
Exponencial Complexa, Funções Circulares e Desenvolvimentos em Série (2001)

Neste volume são expostas, de modo sistemático, as propriedades fundamentais das funções elementares da Análise, utilizando um mínimo de conhecimentos prévios e dando particular relevo aos desenvolvimentos em série no plano complexo.

Alguns dos resultados aqui abordados, embora clássicos, não se encontram com facilidade nos manuais universitários correntes e não são habitualmente mencionados nos cursos de Análise. Estão neste caso, entre outros, o estudo das funções arcsin z e arctan z com z complexo, o produto infinito do seno, os desenvolvimentos das funções circulares em série de frações parciais e a utilização dos números de Bernoulli e de Euler nos desenvolvimentos em série de potências.

Os requisitos necessários à compreensão deste texto reduzem-se aos conceitos de número complexo, de série real e aos resultados básicos sobre limites e continuidade de funções reais de uma variável real.

Do Cálculo Diferencial e Integral somente a partir da secção 13 se utiliza o conceito de derivada, mas todas as definições e resultados exigidos neste caso são aqui abordados de raiz. Esta exposição parece assim acessível a um leitor motivado que domine razoavelmente os assuntos habitualmente tratados ao longo de um primeiro ano de matemática universitária.

Miguel Ramos
Curso Elementar de Equações Diferenciais, 3.ª Ed. (2011)

O presente volume constitui uma primeira e curta introdução às equações diferenciais ordinárias (com referência a algumas equações com derivadas parciais) e foi concebido como manual destinado a um curso de duração semestral ou inferior. Procurando não descurar a componente formativa do tema, o texto caracteriza-se pela sua abordagem relativamente pragmática, patente na discussão de exemplos e em algum destaque dado às aplicações.

Ao longo de capítulos praticamente independentes entre si, expõe-se a teoria básica das equações e sistemas lineares, discute-se a resolução de algumas equações notáveis de primeira ordem, são demonstrados os teoremas clássicos de existência, unicidade e prolongamento das soluções e aborda-se sucintamente as equações lineares das ondas e do calor uni-dimensionais.

Como auxiliares de estudo, inclui-se um resumo da matéria (pré-requisitos de Análise Matemática e síntese dos principais conteúdos aqui apresentados), exemplos resolvidos (ao longo do volume) e uma seleção final de várias dezenas de exercícios.

Jean-Pierre Schneiders
Introduction to Characteristic Classes and Index Theory (2000)

This book is based on a course given by the author at the university of Lisbon during the academic year 1997-1998. Its aim is to give the reader an idea of how the theory of characteristic classes can be applied to solve index problems. Starting from the Lefschetz fixed point theorem and its application to the computation of the Euler-Poincaré characteristic of a compact orientable manifold, we first develop the theory of Euler classes of orientable manifolds and real vector bundles. Then, we study the Stiefel-Whitney classes and the general modulo 2 characteristic classes of real vector bundles. Similar considerations for complex vector bundles lead us to the Chern classes. We conclude the part devoted to characteristic classes by a study of global and local Chern characters. The rest of the book is then centered around the Riemann-Roch theorem. We present first a very simple proof which works for compact complex curves and allows us to make links with the original results of Riemann and Roch. Then, we treat in details the case of compact complex projective manifolds by more advanced methods.

Owen J. Brison
Grupos e Representações (1999)

Este livro é uma versão aumentada de apontamentos elaborados ao longo dos anos pelo autor, para a cadeira "Grupos e Representações" do quarto ano da Licenciatura em Matemática na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

O livro desenvolve o suficiente das teorias dos grupos finitos e dos carateres de grupos para demonstrar o chamado Teorema pa qb de Burnside, e simultâneamente desenvolve o suficiente da teoria dos grupos finitos para poder apreciar o "peso" deste teorema. Acontece que a matéria que tem de ser desenvolvida para estes fins proporciona uma base de conhecimentos muito razoável sobre grupos finitos e as suas representações.

A matéria teórica está ilustrada com exemplos e exercícios.

T. Monteiro Fernandes
Topologia Algébrica e Teoria Elementar dos Feixes (1998)

O conceito de homotopia de caminhos, ou mais geralmente, de aplicações contínuas, é essencial para a compreensão de inúmeras questões de Análise Real e Complexa assim como de Geometria e de Topologia. A par do conceito de homologia, constitui a base da Topologia Algébrica desde o seu nascimento enquanto disciplina autónoma da Matemática, estando ambos na origem de importantes conjeturas. Além destes conceitos e do respetivo enquadramento teórico necessário a uma disciplina do último ano da licenciatura, apresentamos uma introdução à Teoria dos Feixes, prolongamento natural da Topologia Algébrica, e que é linguagem básica de algumas áreas de investigação atuais.

A. Bivar Weinholtz
Teoria dos Operadores (1998)

O estudo dos operadores autoadjuntos não necessariamente limitados em espaços de Hilbert foi historicamente motivado pela eclosão da Mecânica Quântica. Nesta monografia apresenta-se a demonstração do teorema espectral para tais operadores e estudam-se algumas das respetivas consequências fundamentais, tendo como "pano de fundo" a referida motivação física. As três partes em que se divide o curso são outras tantas etapas nesse processo: o conceito de operador "associado a observável físico" sugere que se analise, numa primeira parte, a noção de adjunto no quadro das correspondências ("operadores multívocos") em espaços de Hilbert, com uma incursão pela teoria da representação das formas sesquilineares. Em seguida estuda-se a estrutura de Álgebra de Banach como quadro privilegiado para o estabelecimento de resultados em "teoria espectral", tema cuja importância para a resolução dos problemas propostos já antes se vislumbrara. Aproveita-se para abordar algumas questões, oriundas de diversas áreas da Matemática, cuja resposta é oferecida, inesperadamente, pelas proprieda- des da referida estrutura. Regredindo na escala da abstração volta-se aos operadores "não-limitados", passando pelas álgebras-B* e operadores normais limitados, para, finalmente, se estudarem diversas formas do Teorema espectral e respetivas consequências, sem esquecer a motivação física que subtende toda a exposição.

Versão Digital (10)

13,50€

Armando Machado
Geometria Diferencial - Uma Introdução Fundamental, 2.ª Ed. (2002) - 3.ª Ed. online

Este livro tem como ponto de partida um curso semestral de Geometria Diferencial, destinado aos estudantes do terceiro ano da licenciatura em Matemática, mas o seu conteúdo vai bastante mais além do que o que é possível abordar nesse curso. O objetivo central é o estudo elementar das subvariedades de um espaço euclidiano, tanto do ponto de vista da Topologia Diferencial como do da Geometria Diferencial. As variedades diferenciáveis abstratas são abordadas apenas no último capítulo, onde se demonstra, em particular, o teorema do mergulho de Whitney, que permite estender a estas muito do que foi estudado anteriormente. Alguns aspetos que distinguem este trabalho da maioria dos outros livros com o mesmo caráter introdutório incluem o estudo das variedades com bordo e com cantos e o dos fibrados vetoriais com as fibras contidas num espaço euclidiano; a segunda forma fundamental destes é aplicada, por exemplo, na abordagem das propriedades clássicas das curvas e das hipersuperfícies. Na tentativa de tornar o livro tão autosuficiente quanto possível, são dedicados dois capítulos a uma revisão rápida do Cálculo Diferencial, no quadro dos espaços vetoriais de dimensão finita, e ao estudo da existência e regularidade das soluções de equações diferenciais ordinárias, relativamente às condições iniciais e a eventuais parâmetros.

Versão Digital - 3.ª ed. (9)

Versão em papel - 2.ª ed.: 17,00€ cada

Armando Machado
Tópicos de Análise e Topologia em Variedades (1997)

Este livro tem a sua origem num curso semestral de Análise em Variedades, destinado aos estudantes do último ano da licenciatura em Matemática, embora, como é usual, aborde mais assuntos do que os que é possível tratar nesse curso. A sua linha diretora é o estudo do teorema de Stokes sobre as formas diferenciais e das aplicações deste à Topologia das Variedades. O ambiente geométrico em que se trabalha foi mantido tão concreto quanto possível, com o duplo objetivo de chegar depressa a resultados interessantes e de não desmotivar o estudante cujo interesse principal não seja a Geometria, mas que necessita conhecer os resultados fundamentais que se aplicam em Análise. Nesse sentido, as variedades em estudo são sempre subvariedades de um espaço euclidiano. O objetivo de dar um sabor analítico a certas questões, abordadas usualmente de modo mais abstrato, levou à definição do integral das formas diferenciais a partir da do integral das funções, este último apoiado na definição da medida de Lebesgue sobre as variedades. No fim de cada capítulo é apresentada uma lista de exercícios, destinados, de modo geral, a complementar os assuntos expostos no corpo daquele.

Versão Digital (8)

Versão em papel: ESGOTADO

A. Bivar Weinholtz
Equações Diferenciais - Uma Introdução, 3.ª Ed. (2005)

A introdução à teoria das equações diferenciais ordinárias constitui o objeto fundamental deste texto; tratando-se de área vastíssima do conhecimento matemático e respetivas aplicações, a escolha dos assuntos a desenvolver, bem como dos métodos de exposição, obriga à adoção de critérios evidentemente discutíveis. Procurou-se privilegiar os aspetos mais formativos, tanto do ponto de vista matemático, procurando "revisitar" os temas considerados como pré-requisitos (essencialmente as bases da análise real, da álgebra linear e do cálculo diferencial em ℝ), como do ponto de vista da interação entre a matemática e outros campos do conhecimento. Optou-se por abordar também o estudo das equações e sistemas de equações de diferenças (lineares de coeficientes constantes), atendendo ao paralelismo com os "correspondentes" sistemas de equações diferenciais, não se perdendo assim a oportunidade de confrontar modelos "contínuos" e "discretos" que ocorrem naturalmente em diferentes setores das ciências.

Além dos inúmeros exemplos tratados no texto principal e dos exercícios propostos ao longo da exposição e no final de cada capítulo, termina-se com uma coleção de exercícios resolvidos.

Owen J. Brison
Teoria de Galois, 4.ª Ed. (2003)

Este livro é uma versão aumentada de apontamentos elaborados pelo autor para a disciplina "Teoria dos Corpos" do terceiro ano das Licenciaturas em Matemática na Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. Além da apresentação obrigatória de um polinómio que não seja "Resolúvel por Radicais", e a teoria subjacente, o livro introduz vários outros assuntos, como por exemplo as Construções Geométricas e Polinómios Ciclotómicos, os Corpos Finitos e o "Teorema da Base Normal".

A matéria teórica está ilustrada com exemplos e exercícios; alguns dos exercícios têm resoluções sugeridas no fim do livro.

Mário S.R. Figueira
Fundamentos de Análise Infinitesimal, 5.ª Ed. (2011)

Este livro é dirigido, em especial, aos alunos das licenciaturas em Matemática e, mais geralmente, a todos aqueles que se interessam por uma apresentação rigorosa dos fundamentos da Análise. Para além dos clássicos temas sobre limite e continuidade, diferenciabilidade, integral de Riemann e primitivação, sucessões e séries de funções, é dado particular relevo aos desenvolvimentos assimptóticos, permitindo uma abordagem clara e sistemática da convergência de séries numéricas e integrais impróprios. No último capítulo exibe-se uma introdução clássica das séries de Fourier, e aí se demonstram resultados gerais de convergência simples e uniforme.

O texto é ilustrado com inúmeros exemplos e exercícios, permitindo aos leitores uma melhor clarificação dos conceitos apresentados.

Versão Digital (5)

Versão em papel: 13,50€ cada

A. Bivar Weinholtz
Integral de Riemann e de Lebesgue em RN, 4.ª Ed. (2006)

Expõe-se, neste volume, a teoria da integração em R^n, começando pela construção do integral de Riemann e da medida de Jordan. O integral e medida de Lebesgue surgem como desenvolvimento natural daquela teoria, sugerido pela análise do comportamento de sucessões de funções integráveis à Riemann; introduz-se, deste modo, uma versão modificada da clássica construção de Riesz.

Procurou-se motivar o encadeamento dos assuntos, fazendo ressaltar os aspetos intuitivos da teoria, mas simultaneamente desenvolver todas as demonstrações; espera-se, assim, que o texto possa ser útil a leitores com níveis variados de formação matemática.

Versão Digital (4)
 

Versão em papel: 13,00€

Orlando Neto
Equações Diferenciais em Superfícies de Riemann (1994)

O texto introduz a Teoria Clássica das equações diferenciais lineares com coeficientes holomorfos de um ponto de vista moderno, utilizando sistematicamente a Teoria dos Feixes. Pretende-se assim introduzir o leitor de forma tão rápida quanto possível à moderna teoria dos sistemas de equações às derivadas parciais em variedades complexas (D-módulos).

A exposição é sistemática e elementar, sendo o texto complementado por vários apêndices que o tornam tão autocontido quanto possível, e mais de uma centena de exercícios.

Miguel P. N. Ramos
Teoremas de Enlace na Teoria de Pontos Críticos (1993)

O texto trata de teoremas de existência de pontos críticos para funções reais definidas em espaços de Banach. São igualmente estudadas questões de multiplicidade bem como a descrição local do conjunto dos pontos críticos. Os resultados são motivados por situações geométricas (ditas de enlace) que surgem no tratamento variacional de algumas equações diferenciais não lineares.

A exposição é elementar e sistemática, contém ambos os fundamentos e os avanços recentes da teoria e dirige-se quer a investigadores quer a alunos finalistas.

Luís Sanchez
Métodos da Teoria de Pontos Críticos (1993)

Este volume constitui uma introdução à Teoria de Pontos Críticos e suas aplicações. Inclui, além do material que se pode considerar clássico, resultados obtidos durante as últimas décadas, permitindo uma visão de certas tendências da investigação atual nesta área.

O conteúdo, que foi lecionado em cursos de Mestrado na Universidade de Lisboa, é acessível a um licenciado com conhecimentos sólidos de Análise, Geometria e Topologia.